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外部资料:
线性是?
f(ax)=af(x)
f(x+y)=f(x)+f(y)
线性方程组
齐次方程组、非齐次方程组:常数是否全部为0的区别
齐次方程组有唯一解的话,这个解就是零解
增广矩阵(拡大行列(かくだいぎょうれつ、英: augmented matrix)) https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix
方程组中真正有效的方程的数量
Rank (linear algebra) / 行列の階数(かいすう) / 秩 (线性代数)
行化简可以进行的操作:123
目的是变为阶梯形矩阵,求解方程组
通过行化简后,矩阵中不全为0的行数,定义为秩(r),代表方程组中真正有效的方程的个数。
齐次方程组的行化简过程和非齐次方程组是类似的
一些基础:
和任何矩阵相乘都不会改变对方
单位矩阵,执行一次初等变换后,称作初等矩阵
与初等行变换类似的,有初等列变换,两者都是初等变换
初等变换可以换位和对应的矩阵相乘
等价矩阵:可以通过执行初等变换得到的矩阵
定义很简单,就是矩阵相乘是单位矩阵的两个矩阵(互为逆矩阵)
是否可逆:
矩阵𝑨可逆的充要条件是|𝑨| ≠ 0
用于求解方程组,通过计算行列式就可以得到方程组的解
向量一般竖着写
基(基底):可以表示所有的向量
定义:xxx
最大无关组包含的向量数量等于向量组的矩阵的秩
如果两个向量组可以相互线性表示,则两个向量组被称之为等价的。
方程组的求解,可以认为是求某个向量𝑏在一组指定基底(方程组的系数矩阵)中的坐标。
从一组基底变换到另一组基底
如果两个向量内积为 0,则称它们是正交的。
在平面内,如果基底是正交的,则可以用另一种方式(非解方程)求得坐标(一个向量用这组基表示的坐标)。直接计算可得
由空间中的一组基底,找到一组正交基 背公式
待补充
特征值和特征向量是相互对应的,一个特征值对应一个特征向量,可能不止有一组
了解一下求法:行列式=0,应该有n个解(包括重根、复数根)
特征值的性质:12345
相似矩阵的定义:xxx
相似矩阵的性质:xxx
如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,则可以构造一个与A相似的对角矩阵。(对角矩阵有很多便利的性质,和对角矩阵相似,则可以间接地使用某些性质)
实对称矩阵:矩阵元素为实数、沿对角线对称的元素,值相等
实对称矩阵的性质:123
待补充
待补充