数学:微积分:高等数学-上_知识梳理
高等数学(上) 知识框架梳理
极限
理解极限:极限是一个过程
求极限的常见类型和方式
一般步骤:
代入、分类、求解
对于无穷小的处理方法:
化简
重要:等价无穷小替换,常见的替换要记住
使用等价无穷小替换也有要求
洛必达(使用洛必达有要求)
极限的运算法则(四则运算)
是否连续(连续和光滑不同),理解函数的连续性(存在极限)
间断点的种类
可去
跳跃
无穷
震荡
微分
导数的几何定义(倾斜率)
导数的基本公式:基本的求导公式,导数的四则运算(注意乘除法),复合函数求导,求导的链式法则
是否可导(可导性)
根据定义判断,看极限是否存在
可导一定连续,连续不一定可导
如何确保可导?先保证连续(左右函数值相等,从两个方向逼近$x_0$),再保证左右导数相等
微分的应用:计算近似值
莱布尼茨公式:$(xy)^{\prime\prime}$(计算这种式子,类似二项式定理)
隐函数求导:正常计算即可
参数方程求导:$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
泰勒公式
待补充
积分
积分符号就是求和的意思(理解积分的几何意义)
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{x}=x^{-1}$
不定积分
基本的积分公式
积分的原理不难,重要是各种计算技巧
凑微分法:$dy=y^{\prime}dx$搭配各种经验技巧(d后面的量变了)
三角函数的处理方法
根号的处理方法
分部积分:$\int{ydx}=yx-\int{xdy}$
分部积分/部分積分(ぶぶんせきぶん、英: Integration by parts)
口诀:反对幂指三,越是靠后类型的函数,越优先与“dx”结合
分部积分的表格法(快捷方法):待补充
定积分
牛顿-莱布尼茨公式(微积分唯一的公式)
可以利用被积函数的奇偶性
相比于不定积分,定积分还需要格外注意在引用新字母进行换元方法时,上下限也需要更换
变上限积分
定积分的应用
中值定理
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