线性代数 Linear Algebra

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外部资料：

1. 【线性代数】7小时快速通关 https://www.bilibili.com/video/BV1Wa4y1R7NC/
2. 线代核心讲义(release v1) Dropbox (Public/Wiki/数学_李天意Providence)

1. Essence of linear algebra https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

线性是？

f(ax)=af(x)

f(x+y)=f(x)+f(y)

线性方程组

齐次方程组、非齐次方程组：常数是否全部为0的区别

齐次方程组有唯一解的话，这个解就是零解

增广矩阵（拡大行列（かくだいぎょうれつ、英: augmented matrix）） https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix

方程组中真正有效的方程的数量

Rank (linear algebra) / 行列の階数（かいすう） / 秩 (线性代数)

1. 什么是线性
2. 齐次、非齐次的区别是
3. 根据矩阵的秩：判断解的情况（有无解、解的个数）
4. 系数矩阵和增广矩阵（系数矩阵+常数列）

行化简可以进行的操作：123
目的是变为阶梯形矩阵，求解方程组

通过行化简后，矩阵中不全为0的行数，定义为秩（r），代表方程组中真正有效的方程的个数。

1. 系数矩阵的秩<增广矩阵的秩，则该方程组无解。（出现了矛盾，0=非零）
2. 系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，该方程组有解。（没有矛盾，但是有可能约束不足，也就是解可能不唯一）；秩小于变量个数（有效方程数量不足，秩表示的是有效方程的数量），有无数多解。
3. 当方程组有无数个解的时候，自由变量的个数 = 变量个数 — 系数矩阵的秩
4. 齐次方程组一定有一组零解（常数列是全0，所以不可能出现矛盾）

齐次方程组的行化简过程和非齐次方程组是类似的

一些基础：

1. 方阵的迹：对角线元素之和
2. 对角矩阵（英语：diagonal matrix）是一类除主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。

• 重要：基础运算规则和运算律
• 矩阵分块，一种计算技巧
• 转置矩阵

和任何矩阵相乘都不会改变对方
单位矩阵，执行一次初等变换后，称作初等矩阵

与初等行变换类似的，有初等列变换，两者都是初等变换
初等变换可以换位和对应的矩阵相乘

等价矩阵：可以通过执行初等变换得到的矩阵

定义很简单，就是矩阵相乘是单位矩阵的两个矩阵（互为逆矩阵）
是否可逆：

1. 对于一个𝑛阶方阵而言，其可逆的充要条件是该方阵是满秩的（秩为𝑛）
2. 方阵 A 可逆的充要条件是其与单位矩阵行等价。（也就是，可以通过行变换变为单位矩阵；为什么是行等价，列等价可以吗？）
3. AI：在线性代数中，只有方阵（即行数和列数相等的矩阵）才有可能是可逆的。
4. AI：如果两个矩阵A和B互为逆矩阵，那么它们相乘的顺序不影响结果，结果都是单位矩阵I。

1. 进行行变换（高斯-约当消元法）
2. xxx（其他还有很多方法）

1. 行列式的行数和列数都相等
2. 行列式是一种运算规则
3. 二阶行列式的计算方法是：ad-bc

1. 计算需要用到：余子式、代数余子式（有–1项）。余子式的计算类似于递归
2. 计算一个行列式，取其中任意一行（或一列），让该行的每一个元素乘以对应位置的代数余子式，然后求和相加，就是该行列式的值。
3. 对于上三角或者下三角行列式，其值即为对角元素之积

1. 行列式经过转置后，其值不变；
2. 行列式当中的两行对换位置，其值取相反数；
3. 把行列式中的某一行乘以某个倍数加到另外一行，行列式的值不变；
4. 一个常数𝒄乘以行列式，相当于行列式当中的某一行中的每个数乘以该常数𝒄（注意不是整个行列式乘以该常数）。

矩阵𝑨可逆的充要条件是|𝑨| ≠ 0

1. 伴随矩阵是：将矩阵𝑨中每个位置的代数余子式求出后进行转置
2. 逆矩阵可以由伴随矩阵和行列式求得

用于求解方程组，通过计算行列式就可以得到方程组的解

向量一般竖着写

基（基底）：可以表示所有的向量

定义：xxx

最大无关组包含的向量数量等于向量组的矩阵的秩

如果两个向量组可以相互线性表示，则两个向量组被称之为等价的。

方程组的求解，可以认为是求某个向量𝑏在一组指定基底（方程组的系数矩阵）中的坐标。

从一组基底变换到另一组基底

如果两个向量内积为 0，则称它们是正交的。
在平面内，如果基底是正交的，则可以用另一种方式（非解方程）求得坐标（一个向量用这组基表示的坐标）。直接计算可得

1. 正交基：一组基底，两两相交
2. 标准正交基：正交基，并且所有的基底都是单位向量
3. 标准正交基组成的矩阵，其逆矩阵等于它的转置矩阵

由空间中的一组基底，找到一组正交基 背公式

待补充

特征值和特征向量是相互对应的，一个特征值对应一个特征向量，可能不止有一组
了解一下求法：行列式=0，应该有n个解（包括重根、复数根）

特征值的性质：12345

相似矩阵的定义：xxx
相似矩阵的性质：xxx

如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则可以构造一个与A相似的对角矩阵。（对角矩阵有很多便利的性质，和对角矩阵相似，则可以间接地使用某些性质）

实对称矩阵：矩阵元素为实数、沿对角线对称的元素，值相等
实对称矩阵的性质：123

待补充

梯度、散度和旋度

待补充

• 矩阵蠕变
• 幂零矩阵

1. 叉积定理.odt
2. 基础素养.odt
3. 雅可比矩阵.odt