高等数学（下）

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上册：极限、微分、积分

下册：换成多元函数

导数：偏导数、全微分、方向导数、梯度

积分：重积分、曲线积分、曲面积分

特别要注意叉乘的计算规则

各种表示方法（方程）

洛必达不再适用，等价无穷小替换还可以使用

1. 一元函数的极限：有两个趋近方向
2. 多元函数的极限：有无穷个趋近方向
3. 要沿着所有的方向趋近，结果都相同才能称为极限存在
4. 可以尝试假设y和x的关系，比如y=kx，尝试趋近，看极限是否是一个常数（和k无关）

偏导数、全微分：偏和全（看一下全微分的定义就明白了）
高阶偏导数：类比一元函数的高阶导数

方向导数和梯度：
方向导数：沿着某个特定方向的变化率（导数就是变化率，方向导数就是根据角度混合两个坐标轴方向的偏导数）
梯度：变化率取值最大的方向（偏导数大，就说明沿这个方向变化率大）

隐函数存在定理123（和直接对某个变量求导不同）

用偏导数等，表示曲线曲面的【切、法线、面】等

在多元函数中的链式法则：画出复合关系链路图，同一链路乘起来，不同链路加起来。
特殊情况，出现跨级依赖的时候（比如u-y-x，但是u-x之间也有之间关系）：要区分清楚偏微分的写法

求偏导数，令偏导数=0，得到驻点
然后根据ABC的关系，判断是极大值还是极小值

拉格朗日乘数法

二重积分的基本概念：计算曲面下的体积

基础的二重积分：

1. 找到xy的范围（确定积分上下限），然后和普通积分一样计算
2. 积分顺序可能会影响计算难度
3. 有时可能不好一起计算，可以分开计算（你明白就好）

注意！面积微元的换法

1. 想象出空间区域，找好积分的上下限
2. 或者先想象出xy平面上的投影，然后再找z的上下限
3. 也可以转化为柱面坐标
4. 类似二重积分，待补充

1. 曲面面积
2. 质量与质心
3. 转动惯量

在曲线（曲线本身就是一个x和y的关系式）上积分，x和y之间有关系约束

对弧长进行积分ds，曲线段不具有方向性

对坐标进行积分dxdy，曲线段具有方向性

曲线段是否具有方向性，决定了积分上下限的区别（积分上下限能否调换）

ds和dx、dy是直角三角形三边的关系
两种积分之间也可以互相转化

1. 第一类：“绳子质量”
2. 第二类：“质点沿曲线运动，力的做功”

1. 从一个物理学的例子理解格林公式
2. 对于第二类积分，在满足特定条件时，可以证明其积分结果与路径无关，则可以更换成简单的路径进行积分

1. 第一类曲面积分：对面积积分
2. 第二类曲面积分：对坐标积分

将封闭曲面上对坐标的曲面积分，转化为体积分。

1. 等比级数
2. 调和级数（发散）
3. p级数

1. 极限审敛法
2. 比值审敛法（又称：达朗贝尔判别法）
3. 比较审敛法

正项级数：所有项都是非负数
交错级数：有（-1）项（用于变号）

绝对收敛：各项取绝对值后仍然收敛（条件更严格）
条件收敛：普通的收敛

求幂级数的收敛半径的方法

1. 函数展开成幂级数
2. 求幂级数的和函数

待补充

待补充
可暂时参考：修考数学2024数学2的内容