高等数学（上） 知识框架梳理

1. 理解极限：极限是一个过程
2. 求极限的常见类型和方式
3. 一般步骤：
   1. 代入、分类、求解
4. 对于无穷小的处理方法：
   1. 化简
   2. 重要：等价无穷小替换，常见的替换要记住
   3. 使用等价无穷小替换也有要求
   4. 洛必达（使用洛必达有要求）
5. 极限的运算法则（四则运算）
6. 是否连续（连续和光滑不同），理解函数的连续性（存在极限）
7. 间断点的种类
   1. 可去
   2. 跳跃
   3. 无穷
   4. 震荡

1. 导数的几何定义（倾斜率）
2. 导数的基本公式：基本的求导公式，导数的四则运算（注意乘除法），复合函数求导，求导的链式法则
3. 是否可导（可导性）
   1. 根据定义判断，看极限是否存在
   2. 可导一定连续，连续不一定可导
   3. 如何确保可导？先保证连续（左右函数值相等，从两个方向逼近$x_0$），再保证左右导数相等
4. 微分的应用：计算近似值
5. 莱布尼茨公式：$(xy)^{\prime\prime}$（计算这种式子，类似二项式定理）
6. 隐函数求导：正常计算即可
7. 参数方程求导：$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
8. 泰勒公式
   1. 待补充

积分符号就是求和的意思（理解积分的几何意义）

$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{x}=x^{-1}$

1. 基本的积分公式
2. 积分的原理不难，重要是各种计算技巧
3. 凑微分法：$dy=y^{\prime}dx$搭配各种经验技巧（d后面的量变了）
   1. 三角函数的处理方法
   2. 根号的处理方法
4. 分部积分：$\int{ydx}=yx-\int{xdy}$
   1. 分部积分/部分積分（ぶぶんせきぶん、英: Integration by parts）
   2. 口诀：反对幂指三，越是靠后类型的函数，越优先与“dx”结合
   3. 分部积分的表格法（快捷方法）：待补充

1. 牛顿-莱布尼茨公式（微积分唯一的公式）
2. 可以利用被积函数的奇偶性
3. 相比于不定积分，定积分还需要格外注意在引用新字母进行换元方法时，上下限也需要更换

待补充

1. 求旋转体体积
2. 求曲线弧长