级数

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调和级数（Harmonic Series）是指以下形式的无穷级数：

$$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$

它的通项为 $\frac{1}{k}$，其中 $k$ 为正整数。调和级数的部分和（前 $n$ 项和）可以表示为：

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$

调和级数是发散的，这意味着随着 $n$ 越来越大，和 $S_n$ 没有极限，它会趋于无穷大。虽然调和级数是发散的，但它的发散速度相对较慢。根据积分检验法，可以证明调和级数的发散性。

调和级数的发散性证明（积分检验法）：
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，则

$$\int_1^n \frac{1}{x} dx = \ln(n)$$

因此，调和级数的部分和 $S_n$ 可以近似为 $\ln(n)$，随着 $n$ 增大，$\ln(n)$ 也增大，因此调和级数是发散的。

调和级数与欧拉常数
调和级数的部分和可以近似为：

$$S_n \approx \ln(n) + \gamma$$

其中 $\gamma$ 是欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant），大约为 0.57721。这种近似在 $n$ 很大的情况下非常有效。