调和级数（Harmonic Series）是指以下形式的无穷级数：
$$ H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $$
它的通项为 \( \frac{1}{k} \)，其中 \( k \) 为正整数。调和级数的部分和（前 \( n \) 项和）可以表示为：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \]
调和级数是发散的，这意味着随着 \( n \) 越来越大，和 \( S_n \) 没有极限，它会趋于无穷大。虽然调和级数是发散的，但它的发散速度相对较慢。根据积分检验法，可以证明调和级数的发散性。
调和级数的发散性证明（积分检验法）：
考虑函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则
\[ \int_1^n \frac{1}{x} dx = \ln(n) \]
因此，调和级数的部分和 \( S_n \) 可以近似为 \( \ln(n) \)，随着 \( n \) 增大，\( \ln(n) \) 也增大，因此调和级数是发散的。
调和级数与欧拉常数
调和级数的部分和可以近似为：
\[ S_n \approx \ln(n) + \gamma \]
其中 \( \gamma \) 是欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Mascheroni constant），大约为 0.57721。这种近似在 \( n \) 很大的情况下非常有效。