数学2（09）：向量解析

内积：点积，结果是一个数字 $$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos{\theta}$$

外积：叉乘，结果还是一个向量。几何意义：方向，右手定则；大小，$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin{\theta}$

计算平行六面体的体积：
$|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$（其中$\vec{a}\,\vec{b}\,\vec{c}$是立方体不共线的3条边）

梯度、散度、旋度。日语：勾配grad，発散div，回転rot(curl)

计算对象是：多个自变量的标量函数（函数结果是一个标量，一个数字，比如$f(x,y,z)=x+y-z$），如果只有一个自变量，梯度就退化为导数。
多个自变量的标量函数：（在3维中）相当于空间中的每一个点的位置都有一个标量，这是标量场。

计算方式： $$\mathrm{grad}{\phi(x,y,z)}=(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z})$$

如何理解：导数是变化率，偏导数是沿着某一个方向的变化率，由偏导数组成的向量，指向了下降最快的方向。

nabla算子，求梯度的算子，$\nabla \phi = \mathrm{grad} \phi$（因为$\phi$是一个标量函数，所以这里相当于是数乘）

拓展：随机梯度下降，沿着loss函数值下降的方向前进

计算对象是向量场。什么是向量场？（在3维中）相当于在空间中，每个点的位置都有一个向量。数学表示是：
$$F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$$ 也就是向量→向量。（向量场）

那么如何计算散度呢？ $$\mathrm{div}\vec{F}=\nabla \cdot \vec{F}=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})\cdot (P,Q,R)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$ 可以看到散度是一个标量。
几何意义是：在某一点，是在“释放”还是“吸收”（对应散度的正负）。
可以用一个$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$的体积微元，理解散度的几何意义。

散度的积分：空间中某一个范围内，是在“释放”还是“吸收”

计算对象是：向量场。类比上文散度中的$F(x,y,z)=(P,Q,R)$，计算方式： $$ \mathrm{rot} \vec{F}=\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} =(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) $$ 则可以看出，旋度是一个向量。其中，$\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}$是沿着$x$轴的旋度，其他轴也可类比。

几何意义：旋转的剧烈程度。这个剧烈程度不仅有强度（数值），还有方向。

$\phi(x,y,z)$是任意一个标量函数，则： $$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\phi)=\nabla \times (\nabla \phi)=\vec{0}$$

$F(x,y,z)=(P,Q,R)$是任意一个向量函数（向量场），则： $$\mathrm{div}(\mathrm{rot}\vec{F})=\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F})=0$$

内积可交互顺序，外积不可以
偏导数算子、$\nabla$等只能和后面的东西结合，所以注意运算顺序，$\nabla \cdot \vec{F} \neq \vec{F} \cdot \nabla$

$$(\vec{A} \cdot \nabla)\vec{A}=\frac{1}{2} \nabla\vec{A}^2-\vec{A} \times (\nabla \times \vec{A})$$

$$ \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 = \Delta = (\frac{\partial^2}{\partial{x^2}},\frac{\partial^2}{\partial{y^2}},\frac{\partial^2}{\partial{z^2}})$$

向量函数就是函数结果是一个向量，就是向量场（概念和上文一样，这里只是重新解释一下向量函数这个名字）

对于向量函数$\vec{v}$，若存在标量函数$\phi$，满足：$\vec{v}=\mathrm{grad}\phi$，则$\phi$是$\vec{v}$的potential function（注意最终的重点，标量函数是potential function）

$\vec{v}$的旋度不为0→没有potential function（参照上文提到的性质）

一般形式：$c$是积分路径（一条曲线），$\vec{A}$是被积分的向量函数（类比向量场，在空间中任意一点，都对应有一个向量） $$\int_c{\vec{A}\mathrm{d}\vec{r}}$$

物理意义：做功

利用参数（空间曲线的参数方程）：$\vec{r}=(x(t),y(t),z(t))$（$\vec{r}$就是曲线的表达式） $$ \mathrm{d}\vec{r}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}{t}}{\mathrm{d}{t}}=(\frac{\mathrm{d} r_x}{\mathrm{d} t},\frac{\mathrm{d} r_y}{\mathrm{d} t},\frac{\mathrm{d} r_z}{\mathrm{d} t}){\mathrm{d}{t}}$$

如果$\vec{A}$存在potential function，则对$\vec{A}$在封闭路径上的积分为0