数学2（01）:微分方程

微积分（高等数学（下）有讲到微分方程）

函数及其导数关系的方程，比如（随便写的，二阶，常微分方程（区别于偏微分方程）） $$ (y'')^3 + 3y(y')^3 = 5x $$

1. 微分方程的阶数
   1. 最高阶导数的阶数就是此微分方程的阶数
2. 常微分方程和偏微分方程
   1. 偏微分方程是有多个自变量，导数是偏导数的情况（导数不是$y'$（默认表示$\frac{dy}{dx}$）而是$\frac{{\partial}y}{{\partial}t}$等）
3. 微分方程的解
   1. 是一个函数（不是一个值）
   2. 微分方程：$F(y'',y',y,x)=0$，其中$y=f(x)$，我们要求的就是$f(x)$的表达式，比如解可以是$y=x^2+2x+1$
   3. 在上面的微分方程中，包含y，x，y对x的导数三者之间的关系
   4. 解可以是隐函数
   5. 通解和特解：是否包含未知的不能合并的任意常数（N阶微分方程就有N个未知常数）
   6. 一般可以通过初值或边界值，求出通解中包含的任意常数

x和y可以分到等号的两边 $$ g(y)dy=f(x)dx $$ 分离x和y，左右两边同时积分

对“齐次”的理解：包含xy的式子，次数是相同的，比如$x^3y^2$和$xy^4$。可以化为以下的形式：

$$ \frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x}) $$ 换元：$ u=\frac{y}{x} $，要注意u是关于x的函数（因为y是关于x的函数，除以x后还是关于x的函数）。
最后得到可分离变量的类型，然后把$u$移动到一边，再计算，可得到$u$，然后再得到$y$（课件有一道例题）

例如：$(2x+y+4)dx-(x+y-1)dy=0$，其中包含了常数，常数次数是0，如何处理呢？
消除常数。思路：渐化式

用上面的方法会推导出矛盾，无法求出$m$和$n$（不满秩）。则此时对$x+y$换元，另$x+y=u$

y和其各阶导数是分开的

一般形式（非常系数，非齐次）：
$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$

对应的齐次形式：$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 $，齐次形式可以使用分离变量的方法解决

主要思路：把齐次的解里面的的常数，换成一个函数（常数变易）

先考虑上式的齐次形式（等式右边为0，$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$），则可以直接分离变量，$ \int{\frac{dy}{y}}=\int{-Pdx} $，解（通解）为： $$ y=ce^{-\int{pdx}} $$

然后考虑原来的方程（非齐次的形式），假设方程的解为（把常数换成关于x的函数）（猜测非齐次和齐次的解长得很像）： $$ y^{*}=u(x)e^{-\int{pdx}} $$

代回（先求$y^{*\prime}$，然后将$y^{*\prime}$和$y^{*}$代回原微分方程）

求出$u$（就是下式括号中的内容），$u=\int{Qe^{\int{pdx}}dx+c}$

最终得到（非齐次）微分方程的通解是： $$ y = u(x)e^{-\int{pdx}} =(\int{Qe^{\int{pdx}}dx+c})e^{-\int{pdx}} = e^{-\int{pdx}}\int{Qe^{\int{pdx}}dx}+ce^{-\int{pdx}} $$

观察上式，最终解是：一个特解（左）+齐次的通解（右）

课件中有一道例题

代替常数变易法的一种简便思路（下图有一点小的书写错误）：

和一阶线性有类似之处

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,(n\neq 0,1)$$

首先左右同除$y^n$

令：$z=y^{1-n}$，转换为一阶线性微分方程（非齐次）

$$ \frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x) $$ $$ \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) $$

全微分=0的话，说明函数恒等于某个常数

步骤：

特殊情况：$ \frac{\partial P}{\partial y}\neq \frac{\partial Q}{\partial x}$（不是全微分）
积分因子法，凑成全微分