x和y可以分到等号的两边 g(y)dy=f(x)dx 分离x和y,左右两边同时积分
对“齐次”的理解:包含xy的式子,次数是相同的,比如x3y2和xy4。可以化为以下的形式:
dydx=ϕ(yx)
换元:u=yx,要注意u是关于x的函数(因为y是关于x的函数,除以x后还是关于x的函数)。
最后得到可分离变量的类型,然后把u移动到一边,再计算,可得到u,然后再得到y(课件有一道例题)
例如:(2x+y+4)dx−(x+y−1)dy=0,其中包含了常数,常数次数是0,如何处理呢?
消除常数。思路:渐化式
用上面的方法会推导出矛盾,无法求出m和n(不满秩)。则此时对x+y换元,另x+y=u
y和其各阶导数是分开的
一般形式(非常系数,非齐次):
dydx+P(x)y=Q(x)
对应的齐次形式:dydx+P(x)y=0,齐次形式可以使用分离变量的方法解决
主要思路:把齐次的解里面的的常数,换成一个函数(常数变易)
先考虑上式的齐次形式(等式右边为0,dydx+P(x)y=0),则可以直接分离变量,∫dyy=∫−Pdx,解(通解)为: y=ce−∫pdx
然后考虑原来的方程(非齐次的形式),假设方程的解为(把常数换成关于x的函数)(猜测非齐次和齐次的解长得很像): y∗=u(x)e−∫pdx
代回(先求y∗′,然后将y∗′和y∗代回原微分方程)
求出u(就是下式括号中的内容),u=∫Qe∫pdxdx+c
最终得到(非齐次)微分方程的通解是: y=u(x)e−∫pdx=(∫Qe∫pdxdx+c)e−∫pdx=e−∫pdx∫Qe∫pdxdx+ce−∫pdx
观察上式,最终解是:一个特解(左)+齐次的通解(右)
课件中有一道例题
代替常数变易法的一种简便思路(下图有一点小的书写错误):
和一阶线性有类似之处
dydx+P(x)y=Q(x)yn,(n≠0,1)
首先左右同除yn
令:z=y1−n,转换为一阶线性微分方程(非齐次)
11−ndzdx+P(x)z=Q(x) dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)
全微分=0的话,说明函数恒等于某个常数
步骤:
特殊情况:∂P∂y≠∂Q∂x(不是全微分)
积分因子法,凑成全微分