数学1（02）

极限（技巧性比较强，需要多练习）

1. 求极限
2. 极限的证明（日本没有考过），证明极限是某个值（使用极限的定义进行证明）

• 数列极限的收敛准则
  • 单调递增+有上界→收敛
  • 单调递减+有下界→收敛

定义和数列的极限类似，但是多了一个条件
一元函数的情况下，是分左右极限的（接近的方向不同）

函数极限的性质：

1. 唯一性
2. f(x)<g(x)，则在a处的极限，f(x)<g(x)
3. 夹逼定理

有一个经典的例题（看课件）

函数是否收敛：收敛，意思就是极限存在

在极限过程中为无穷大、无穷小量（理解：并不是一个常数，而是一个趋近的过程）
二者之间可以互相转换

性质：

1. 无穷大量、无穷小量之间的转换（倒数）
2. 有限个无穷小，和、积仍然是无穷小
3. 无穷小*有界函数→无穷小

• 高阶无穷小的概念（趋近0的能力更强、速度更快）
• 低阶无穷小
• 同阶无穷小
• 比值：无穷、0还是常数

“加法中不能使用等价无穷小代换”（一定要整体替换） $$ x \sim \sin{x} \sim \tan{x} \sim \arcsin{x} \sim \arctan{x} \sim e^x-1 \sim \log(1+x) $$

$$ a^x-1 \sim x\log{a} (a>0 \quad a\neq1) $$

等价无穷小还需要补充（这里没有记录完整）
等价无穷小可以使用洛必达法则证明

使用有前提条件：0/0或者无穷/无穷才可以使用，而且分子分母的导数需要存在
可以一直使用下去（递归）

极限的加法、乘法、除法
指数函数是？（看课件）

重要的两个式子

理解：无穷小是x→0，广义等价无穷小则不一定？
看一下这里的例题

$f(x)^{g(x)}$形式的一般怎么处理 看课件

1. 两个重要极限
2. 等价无穷小
3. 有理化
4. 洛必达法则

考点：分段函数的连续性
定义：极限值=函数值
分左右两个方向趋近，左极限和右极限

• 定义：微分的定义
• 函数可导的充要条件
• 可导→连续 反之不成立 可导更加严格
• 几何意义：切线方程和法线方程

看课件

看例题！